Theoreme de Pythagore

Secret du Math

Théorème de Pythagore

A) Généralité :

A quoi sert le théorème de Pythagore?

Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d'un côté d’un triangle rectangle

Conditions à satisfaire pour l’utilisation du théorème de Pythagore

Il faut réunir les conditions suivantes :

• Un triangle rectangle.
• Connaitre les longueurs de deux côtés de ce triangle

BC² = AB² + AC² 

Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est le plus grand côté du triangle.

L’égalité de Pythagore : c² = a² + b² s’appelle l’égalité de Pythagore.

 

B) Démonstration :

Exemple : Vérification de la relation pour un triangle de longueurs de côté 3, 4 et 5

BC² = 5² = 25

AC² + AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

Alors BC2 = AC2 + AB2

C) Démonstration :

Aire (C) = c²

Aire (A) = a²

Aire (B) = B²

En observant les deux carrés, on en déduit que l’aire du carré blanc est égale à la somme de l’aire du carré vert et de l’aire du carré gris. 

Ainsi :

Aire (carré blanc) = Aire (carré vert) + Aire (carré gris)  

Aire (C) = Aire (A) + Aire (B)  

alors c² = a² + b²

Théorème de Pythagore :

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AC2 + AB2

Réciproque du théorème de Pythagore :

Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C.

C) Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle

Exemple : Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A 

Calculer la longueur BC.